3 Definiciones de conjunto, qué es un diagrama de Venn y otras cosas mas...

¿Qué es un diagrama de Venn?

Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o "diagramas lógicos", se usan ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios. Muchas personas los vieron por primera vez en la escuela cuando estudiaron Matemática o Lógica, ya que los diagramas de Venn se convirtieron en una parte del plan de estudio de la "nueva Matemática" en la década de 1960. Estos pueden ser diagramas sencillos que involucran dos o tres conjuntos con algunos elementos o pueden volverse muy sofisticados, por ejemplo, en presentaciones en 3D, ya que utilizan seis o siete conjuntos o más. Se usan para hacer un análisis detallado y para representar cómo se relacionan los elementos entre sí dentro de un "universo" o segmento determinado. Los diagramas de Venn permiten a los usuarios visualizar los datos de forma clara y con gran alcance y, por este motivo, se utilizan comúnmente en presentaciones e informes. Se relacionan estrechamente con los diagramas de Euler, pero se diferencian en que estos últimos omiten los conjuntos si estos no contienen elementos. Los diagramas de Venn muestran las relaciones incluso si un conjunto está vacío.

https://www.lucidchart.com/pages/es/qu%C3%A9-es-un-diagrama-de-venn

Diagrama de Venn

Ir a la navegaciónIr a la búsqueda

Diagramas de Venn que corresponden respectivamente a las relaciones topológicas de unión, inclusión y disyunción entre dos conjuntos

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.

https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn

En el post de esta semana vamos a explicar qué es un diagrama de Venn.

Los diagramas de Venn se usan para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. Nosotros vamos a ver y a estudiar ejemplos con 2 conjuntos: el conjunto A y el conjunto B.

Estos dos conjuntos muestran 2 elementos que no pueden tener nada en común.

Por ejemplo, el conjunto A son cuadrados amarillos y el conjunto B son cuadrados verdes. El diagrama de Venn quedaría de la siguiente manera:

Hay otro tipo de diagrama de Venn, que son los que tienen una zona en común entre los conjuntos A y B, y esta zona se llama intersección (inter).

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/diagrama-de-venn/

            3 Ejermplos de Diagrama de Venn

Por ejemplo, el conjunto A son cuadrados y el conjunto B son figuras verdes. El diagrama quedaría de la siguiente manera:

En la zona rosa (a) están los cuadrados.
En la zona azul (b) están las figuras verdes.
En la zona amarilla (inter) están los cuadrados que son verdes.

Vamos a ver otro ejemplo de los que aparecen en la sección de lógica de Smartick:

Vamos a analizar los datos del enunciado:

5 personas tienen perros en casa pero no quiere decir que solo tengan perros, por lo tanto el conjunto A vale 5.
2 personas tienen gatos en casa, por lo tanto el conjunto B vale 2.
2 personas tienen tanto perros como gatos, entonces inter vale 2.

Nos están preguntando sobre las personas que solo tienen perros, y este dato es el de la zona a.

Ponemos 2 bolitas en la zona inter, que son los que tienen tanto perros como gatos.

Si 5 personas tienen perros, y ya sabemos que 2 tienen tanto perros como gatos, podemos hacer la resta para saber los que solo tienen perros: a = 5-2 = 3

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/diagrama-de-venn/

              Operaciones básicas de conjuntos

Nombre:

En matemáticas, álgebra de conjuntos es el estudio de las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación.

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como:

${\displaystyle x\in A\quad \longrightarrow }$ x pertenece a A.

${\displaystyle x\notin A\quad \longrightarrow }$ x no pertenece a A.

• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos

${\displaystyle A=B\quad \longrightarrow }$ A es igual a B.

${\displaystyle A\neq B\quad \longrightarrow }$ A no es igual a B.

• Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como:

${\displaystyle A\subseteq B\quad \longrightarrow }$A es un subconjunto de B.

${\displaystyle A\nsubseteq B\quad \longrightarrow }$ A no es subconjunto de B.

El conjunto vacío es el conjunto sin ningún elemento, y se denota por ∅ o por {}. El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado. Por ejemplo, si se estudian los números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos ellos, N. De manera general, el conjunto universal se denota por U.

Ejemplos

• Cada número natural es elemento del conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturales: 1 ∈ N, 2 ∈ N, etc. Cada número par es también un número natural, por lo que el conjunto P de los números pares, P = {2, 4, 6, ...}, es un subconjunto de N: P ⊆ N.
• Dado el conjunto de letras V = {o, i, e, u, a}, se cumple por ejemplo que a ∈ V o también i ∈ V. El conjunto de letras U = { vocales del español } contiene los mismos elementos que V, por lo que ambos conjuntos son iguales, V = U.

Definicion:

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

Propiedades

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.

Simbologia:

El símbolo de esta operación es: ∪.

 Es correspondiente la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos, que pueden partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte del conjunto unión una vez solamente; esto difiere de la unión de conjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.

Sean A y B dos conjuntos, la unión de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B.

Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto ${\displaystyle A\cup B=\{x/x\in A\lor x\in B\}}$

Operación con Diagrama de Venn:

En las matemáticas, podemos definir a un conjunto como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama elementos o miembros de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o parentesis. ({,}).

Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no juegan a baloncesto, etc.