formulas de permutacion y combinación

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = n^r

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 10³ = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

	La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...		= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 3360
(16-3)!		13!		6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10!	=	10!	=	3,628,800	= 90
(10-2)!		8!		40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:

• imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
• después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa	El orden no importa
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1	1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

Formulas para permutaciones

1. 1. FORMULAS PARA PERMUTACIONES Una permutación de un numero de objetos es cualquier arreglo de estos objetos en un orden definido.
2. 2.  El principio de multiplicación proporciona un método para encontrar el numero de permutaciones de un conjunto. El símbolo factorial, como se ha visto permite que se establezcan relaciones como la siguiente: Se pueden arreglar “n” de objetos en una línea: n(n-1)(n-2)(n-3)…. Formas diferentes. Los puntos indican que se comienza multiplicando con un numero “n” hasta obtener 1.
3. 3. Ejemplo 5.28 Del conjunto E, del equipo de trabajo descrito en el ejemplo 5.23, se eligieron un coordinador y un secretario. Ahí se determino que había 20 posibles elecciones para obtener a los representantes mediante la expresión 5X4, es decir, 20 permutaciones del conjunto E tomando los elementos de 2 en 2.
4. 4. En cada uno de los 20 casos, la primera persona debe ocupar el puesto de coordinador y la segunda el de secretario.Por ello, es importante el orden en el que se consideren las personas. ¿Cómo obtener la permutación?
5. 5. SOLUCIÓNPara resolver el problema es necesario que recordemos que la permutación de un conjunto de elementos es una ordenación especifica de algunos elementos del conjunto.En este caso, la permutación de cinco elementos tomados de dos en dos es 20.
6. 6.  Esta se representa en símbolos por la expresión: 5 P 2 = 20La expresión 5P2 se lee de la siguiente manera:La permutación de 5 elementos tomados de 2 en 2.
7. 7. Complemento técnico: permutación Con el propósito de obtener un valor numérico para la permutación se puede utilizar la siguiente formula: nPr = ____n!____ (n – r) !En el ejemplo anterior era n= 5 y r=2, por lo tanto. 5P2 = ___5!___ = 5x 4 (5-2)!
8. 8. EJEMPLO 5.29 ¿Cuántos termas pueden formarse con las 26 letras del alfabeto si cada letra solo puede emplearse una vez?
9. 9. Solución En este caso, se desea determinar el numero de permutaciones de 26 elementos tomados de 3 en 3. considerando la formula se tiene 26P3=26!/(26-3)!=26X25X24=15600
10. 10. Ejemplo 5.30 De cuantas formas un lector puede seleccionar tres libro es, sin fijarse en el orden de un conjunto de 4 libros denotados por A,B,C y D?
11. 11. Solución Se ha visto que el número de permutaciones de 4 libros diferentes, tomando 3 a la vez es: P=4 X 3 X 2 = 24 En esta permuta el orden de los libros cuenta. El problema es completante diferente cuando deseamos hacer una selección de 3 libros, de 4 A,B,C y D.
12. 12.  Estas son solo 4 posibles selecciones :ABC ABD ACD Y BCD Como puede verse ACB no esta en la lista ,pues la selección de ACB es la misma que ABC ,puesto que el orden no cuenta. Se llama combinación a la lista ABC,ABD ACD y BCD de 4 libros que se tomaron 3 a la vez .El numero total de combinaciones se denota por: (4/3) se le conoce el numero de permutaciones de cuatro cosas tomando 3 a la vez .
13. 13.  La formula es (4/3) .4 ! =4X3X2X1 =4 3!(4-3)! (3X2X1)X1La diferencia entre una permutación y una combinación es que en una permutación e orden cuenta,mientras que   una combinación el orden no cuenta.
14. 14. Relación entre una permutación y una recombinación. Consideremos los cuatro libros A,B,C y D y la lista de las posibles selecciones de 3 libros de 4. Eb la tabla 5.2 se señala, en la primera columna ,la lista de los posibles resultados en una combinación .Pero con un nuevo arreglo ,se obtienen 6 permutaciones de cada una de las solucione de la columna 1 de la tabla 5.2
15. 15. Tabla 5.2 COMBINACIONES PERMUTACIONES ABC ABC ABC ADB BAD BDA DAB ABD DBA ACB BAC BCA CAB CBA ACD ACD ADC CAD CDA DAC DCA BCD BDC CBD CDB BDC DCB BCD
16. 16. Formula de la combinación de ncosas r a la vez, esto es, elnumero de combinaciones de un conjunto de n objetos diferentes tomando r a la vez, es:
17. 17. Ejemplo 5.31 En una fuente de sodas hay una mesa con 5 sillas, llegan 3 personas y se sientan. Si las personas se sientan de manera aleatoria, la lista de todos los ´posibles arreglos de 3 sillas ocupadas y 2 vacías es la combinación de 5 sillas, tomadas 3 a la vez.
18. 18. Solución O O O V V O VO V= VACIO O=OCUPADO V O
19. 19. ASIENTOS 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 O O O V V O V O O V O O V O V V O O O V O O V V O V O O V O O V O V O V O V O O O V V O O V V O O O

https://es.slideshare.net/izmaell/formulas-para-permutaciones

Permutación

En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para conjuntos de 3 elementos, en este caso: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

En combinatoria[editar]

La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla. Básicamente, tres asuntos: permutaciones, combinaciones y variaciones.

Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de los elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas posibles.

Fórmula del número de permutaciones[editar]

Dado un conjunto finito ${\displaystyle A\,\!}$ de ${\displaystyle n\,\!}$ elementos, el número de todas sus permutaciones es igual a factorial de n:
${\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1\,\!}$.

Demostración: Dado que hay ${\displaystyle n\,\!}$ formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos ${\displaystyle (n-1)\,\!}$ formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos ${\displaystyle [n-(k-1)]\,\!}$ posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos ${\displaystyle n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\,\!}$ formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente.

Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.

Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

https://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n

5 EJERCICIOS RESUELTOS DE COMBINATORIA

¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 9.

¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

5 EJERCICIOS RESUELTOS DE PERMUTACIONES

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.