3 definiciones de relaciones matemáticas

RELACIÓN MATEMÁTICA

Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se hablar de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.

En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden gratificar en el esquema llamado plano cartesiano.

https://definicion.de/relacion-matematica/

Relación matemática

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Una relación ${\displaystyle R_{\ }^{\ }}$, de los conjuntos ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ es un subconjunto del producto cartesiano

${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}}$

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman . tuplas.

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: ${\displaystyle A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{n}}$ en este caso se representa ${\displaystyle A\times A\times \ldots \times A}$ como ${\displaystyle A^{n}\,}$, pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

${\displaystyle R\subseteq A^{n}}$

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

Relación matemática

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

Producto cartesiano

Un producto cartesiano es el producto de todos los pares ordenados posibles.

Un par ordenado se escribe de la siguiente forma:

(a,b)

donde a pertenece al primer componente del primer conjunto y

b pertenece al segundo componente del segundo conjunto.

La definición de un conjunto se puede comprender como la agrupación de todos los componentes de una relacion, gráficamente se puede mostrar por medio de una representación sagital, tambien conocida como diagrama de Venn

RELACIÓN UNARIA:

Relación unaria

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En matemáticas, una relación unaria R, en un conjunto A, es el subconjunto de los elementos x de A que cumplen una determinada condición que define R:

${\displaystyle R=\{x:\;x\in A\;\land \;R(x)=cierto\}}$

Ejemplo

• Dado el conjunto N de los números naturales, definimos la relación unaria P de los números pares, esto es un número natural x pertenece a P si x es par, que se expresaría:

${\displaystyle P=\{x:\;x\in \mathbb {N} \;\land \;x\;par\}}$

o lo que es lo mismo:

${\displaystyle P=\{2,4,6,8,10,12,\cdots \}}$

• Partiendo de los alumnos de un centro escolar A, podemos definir la relación unaria alumnos de tercero T, formada por los alumnos del centro que estudian tercer curso:

${\displaystyle T=\{a:\;a\in \mathbb {A} \;\land \;a\;estudia\;tercero\}}$

RELACIÓN BINARIA:

Relación binaria

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En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ definida entre los elementos de dos conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$. Una relación ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ de ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ se puede representar mediante pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$ para los cuales se cumple una propiedad ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a,b)}$, de forma que ${\displaystyle (a,b)\in A\times B}$, y se anota:

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{\left(a,b\right)\in A\times B\mid {\mathcal {P}}\left(a,b\right)\right\}}$

Que se lee: la relación binaria ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es el conjunto de pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$ pertenecientes al producto cartesiano ${\displaystyle A\times B}$, y para los cuales se cumple la propiedad ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ que los relaciona.

Las proposiciones siguientes son correctas para representar la relación binaria ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ entre los elementos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle a{\mathcal {R}}b\qquad {\mbox{o}}\qquad {\mathcal {R}}(a,b)\qquad {\mbox{o bien}}\qquad (a,b)\in {\mathcal {R}}}$

También, según la notación polaca puede expresarse:

${\displaystyle {\mathcal {R}}\;a\;b}$

REPRESENTACIÓN DE RELACIONES USANDO CONJUNTOS, GRAFOS Y MATRICES 

 Representación de relaciones (Matrices, Conjunto, Grafos, Diagrama de flechas).

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29 octubre, 2011

Representación de relaciones

Los ejemplos de relaciones que más se presentan en el área de la computación son aquellas que están definidas sobre conjuntos finitos. En esta sección se trataran dos formas de representar dichas relaciones y su uso para poder identificar las propiedades vistas en la sección anterior.

Representación de relaciones usando matrices

Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es utilizando matrices compuestas de ceros y unos.

 Sean A y B conjuntos finitos de la forma:

Si R es una relación de A en B. La relación R puede ser representada por la matriz , donde

La matriz se denomina matriz de R. En otras palabras la matriz, de ceros y unos, de R tiene un 1 en la posición cuando está relacionado con , y un 1 en está posición si no está relacionado con .

Obsérvese en la definición anterior que los elementos de A y B han sido escritos en un orden particular pero arbitrario. Por lo tanto, la matriz que representa una relación depende de los órdenes usados para A y B. Cuando A = B usamos el mismo orden para A y B.

EJEMPLO:

Sean .

Consideremos la siguiente relación de :

.

Entonces la matriz de R es

Recíprocamente, dando los conjuntos A y B con m y n elementos respectivamente, una matriz de m x n formada de ceros y unos determina una relación de A en B, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Representación de relaciones usando conjuntos.

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los número primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjunto.

Representación de relaciones usando grafos.

un grafo 

es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos.

Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binaria entre elementos de un conjunto.

Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).

Un grafo G es un par ordenado G = (V,E), donde:

• V es un conjunto de vértices o nodos, y
• E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.

Normalmente V suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.

Se llama orden del grafo G a su número de vértices, | V | .

El grado de un vértice o nodo V es igual al número de arcos E que se encuentran en él.

Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

EJEMPLO:

• V:={1,2,3,4,5,6}
• E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}

El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2.

• En la teorías de las categorías una categoría puede ser considerada como un multigrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como aristas dirigidas.
• En ciencias de la computación los grafos dirigidos son usados para representar máquinas de estado finito y algunas otras estructuras discretas.
• Una relación binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido simple. Dos vértices a, b en X están conectados por una arista dirigida ab si aRb.

Representación de relaciones usando diagramas de flechas.

Una forma de representar el producto cartesiano es el diagrama de flechas.

Escriba los elementos de a  y  los elementos de b en dos discos disyuntos, y luego dibuje una flecha de ” a e a ”  en ” b e b”  cada vez que a este relacionado con b.

https://matematicasdiscreta.wordpress.com/2011/10/29/5-1-3-representacion-de-relaciones-matrices-conjunto-grafos-diagrama-de-flechas/

CONJUNTOS

Conjuntos Se partir´a de la noci´on intuitiva de objeto y de unos entes matem´aticos que se denominar´an conjuntos. Definici´on 12. Un conjunto es una colecci´on de objetos bien definidos y diferenciables entre s´ı. A los objetos que constituyen un conjunto se les denomina elementos del mismo. Los conjuntos se designan, habitualmente, por letras latinas may´usculas: A, B, . . . y los elementos por letras latinas min´usculas: a, b, . . .; si a es un elemento del conjunto A, se dir´a que a pertenece al conjunto A, y se escribir´a a ∈ A. En caso contrario, se dir´a que el elemento no pertenece al conjunto y se denotar´a a 6∈ A. Un conjunto A est´a bien definido cuando, dado un objetoo cualquiera x, es cierta una y s´olo una, de las proposiciones x ∈ A y x 6∈ A. Al conjunto que carece de elementos se le denomina conjunto vac´ıo, y se denota por ∅ o por { }. Ejemplo 18. La proposici´on “Todos los alumnos que aprobar´an Matem´aticas en junio” no define adecuadamente un conjunto puesto que, dado un alumno, no se puede afirmar de antemano si aprobar´a o no en junio. Un conjunto puede ser definido por extensi´on, enumerando todos y cada uno de sus elementos, o por compresi´on, diciendo cu´al es la propiedad que los caracteriza. 

GRAFOS:

Grafos La teor´ıa de grafos es una disciplina antigua con muchas aplicaciones modernas. Sus ideas b´asicas las introdujo el gran matem´atico suizo Leonhard Euler en el siglo XVIII. Euler utiliz´o los grafos para resolver el famoso problema de los puentes de K¨onigsberg. Los grafos se emplean para resolver problemas de diversas ´areas. Pueden utilizarse, por ejemplo, para determinar si se puede o no implementar un circuito sobre una placa de una sola capa, para estudiar la estructura de una red de internet, para determinar si dos ordenadores est´an conectados o no dentro de una red inform´atica, para hallar el camino m´as corto entre dos ciudades en una red de transportes, ... El primer trabajo sobre la teor´ıa de grafos aparece en 1736 y fue escrito por el matem´atico Leonnard Euler (1700-1783). Este trabajo comienza con la discusi´on de un problema surgido en la ciudad de K¨onigsberg (ahora Kaliningrado, Rusia). La ciudad estaba dividida en cuatro partes por los dos brazos en los que se bifurca el r´ıo Pregel. Estas cuatro partes eran las dos regiones a orillas del r´ıo Pregel, la isla de Kneiphof y la regi´on que quedaba entre ambos brazos del r´ıo. Siete puentes conectaban entre s´ı estas regiones en el Siglo XVII. La figura siguiente ilustra las regiones y los puentes

http://quegrande.org/apuntes/grado/1G/MDG/teoria/10-11/tema_2_-_conjuntos_y_grafos.pdf